复旦大学高等代数模拟题答案与探讨

一、复旦高等代数模拟题及答案

在高等数学的学习过程中，代数是一门重要的基础课程。而在复旦大学的高等代数课程中，模拟题是一个非常重要的环节。通过做模拟题，可以帮助学生更好地理解和掌握代数的知识，提高解题能力。对复旦大学高等代数模拟题进行解析和探讨，并提供相应的答案。

二、复旦大学高等代数模拟题答案

1. 设A为n阶实对称矩阵，证明A的特征值都是正数。

答：设A的特征多项式为f(λ),则有f(λ)=|A-λI|。由于A是实对称矩阵，所以其特征多项式为偶函数，即f(-λ)=f(λ)。又因为A的特征值是非负实数，所以存在一个实数k,使得f(k)=0。因此，f(-k)=0,即|A-kI|=0。由于A是实对称矩阵，所以k也是A的一个特征值。A的所有特征值都是正数。

2. 设a,b是两个不共线的非零向量，证明a+b=x*b+y*a。

答：设a+b=u,其中u是一个新的非零向量。根据向量加法的定义，有u=a+(b-a)=(1-x)*b+(x-1)*a。又因为a+b=u,所以有(1-x)*b+(x-1)*a=x*b+y*a。两边同时除以b,得到(1-x/b)+(x/b-1)=y/a。整理得y=(x-1)*b/a+(1-x)/a。因此，a+b=x*b+y*a成立。

3. 设f(x)是一个n次多项式，证明f(x)至少有一个根在区间[0,1]内。

答：假设f(x)没有根在区间[0,1]内。那么根据零点存在定理，存在一个区间[a,b],使得f(x)在该区间内的函数值不等于0。但是由于f(x)是一个n次多项式，所以在任意一个长度为n的区间内都至少有两个不同的根。这与假设矛盾，因此假设不成立。所以f(x)至少有一个根在区间[0,1]内。

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